最优高频做市策略：限价单与市价单的随机控制

三来源风险#

1. 库存风险（Inventory Risk）：持有多头或空头头寸的价格波动风险
2. 逆向选择风险（Adverse Selection Risk）：做市报价被知情交易者利用
3. 执行风险（Execution Risk）：限价单可能不被执行或部分执行

状态变量#

• 现金 $X_t$，库存 $Y_t$，中价 $P_t$，价差 $S_t$

价差建模#

• 价差 $S_t$ 建模为有限状态马尔可夫链，状态空间为 tick size $\delta$ 的整数倍
• 跳转由Poisson 过程驱动（tick time clock），强度 $\lambda(t)$ 随时间变化
• 实证观察到时钟强度呈 U 型模式（开盘和收盘活跃）

执行过程#

• 限价单执行由 Cox 过程建模，强度取决于：
  • 报价类型（最佳报价 vs 改进报价）
  • 当前价差大小
• 改进报价（Bb+/Ba−）的执行强度 > 最佳报价（Bb/Ba）

控制策略#

• 连续控制（限价单）：报价类型 $(Q^b, Q^a)$ 和数量 $(L^b, L^a)$
• 脉冲控制（市价单）：随机时间 $\tau_n$ 和规模 $\zeta_n$

关键约简结果#

在两种经典情形下，问题可降维到仅依赖库存 $y$ 和价差 $s$：

情形1：均值准则 + 库存惩罚

• 假设中价为鞅（做市商无方向性观点）
• 值函数形式：$v_i(t, x, y, p) = x + y p + \varphi_i(t, y)$
• 最优策略与价格无关

情形2：指数效用

• $U(x) = -\exp(-\eta x)$，Bachelier 模型 $dP = bdt + \sigma dW$
• 值函数形式：$v_i(t, x, y, p) = U(x + y p) \cdot \phi_i(t, y)$

参数校准#

• 标的：法国兴业银行（SOGN.PA），2011年4月18日 Level 1 数据
• 价差转移矩阵和时钟强度可直接从数据估计
• 执行强度通过构建代理变量估计

回测结果（10^5 次模拟）#

关键发现#

• 最优策略显著降低财富标准差（$\sigma$ 从 51.48 降至 12.63）
• 市价单的使用使库存得到更有效控制
• 最优策略能动态适应时间（临近到期更激进地平仓）