金融随机分析 (Stochastic Calculus for Finance)

概率空间#

• $\Omega$（样本空间）：所有可能结果的集合
• $\mathcal{F}$（$\sigma$-代数）：随机事件的集合，满足对补集、可数并、全集封闭
  • 例：若 $A,B \in \mathcal{F}$，则 $A^c, A\cup B, A\cap B \in \mathcal{F}$
  • 可数无穷个事件的并集仍在 $\mathcal{F}$ 中
• $P$（概率测度）：从 $\mathcal{F}$ 到 $[0,1]$ 的函数，满足可数可加性

随机变量#

• 定义：可测函数 $X: \Omega \to \mathbb{R}$
  • 可测性：$\{\omega: X(\omega) \leq a\} \in \mathcal{F}, \forall a \in \mathbb{R}$
• 分布函数：$F_X(x) = P(X \leq x)$
• 密度函数：$f_X(x) = F'_X(x)$（在可微点）
• 类型：
  • 离散型（二项、泊松等）
  • 连续型（正态、均匀、指数等）

期望#

• 定义：$\mathbb{E}[X] = \int_\Omega X(\omega) dP(\omega)$
• 矩：$\mathbb{E}[X^k]$（$k$阶矩），$\mathbb{E}[(X - \mu)^k]$（$k$阶中心矩）
• 方差：$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2]$
• 不等式：
  • Markov：$P(|X| \geq a) \leq \mathbb{E}[|X|]/a$
  • Chebyshev：$P(|X - \mu| \geq a) \leq \text{Var}(X)/a^2$
  • Jensen：凸函数 $\phi$，则 $\phi(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[\phi(X)]$

收敛性#

• 几乎必然收敛：$P(\lim_{n\to\infty} X_n = X) = 1$
• $L^p$收敛：$\mathbb{E}[|X_n - X|^p] \to 0$
• 依概率收敛：$P(|X_n - X| > \epsilon) \to 0$
• 依分布收敛：$F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ 在连续点
• 关系：几乎必然 $\Rightarrow$ 依概率 $\Rightarrow$ 依分布；$L^p \Rightarrow$ 依概率

独立性#

• $X$ 和 $Y$ 独立 $\iff$ $\mathbb{E}[f(X)g(Y)] = \mathbb{E}[f(X)]\mathbb{E}[g(Y)], \forall f,g$
• 独立 $\Rightarrow$ 不相关，但反之不一定（仅正态分布成立）
• i.i.d.（独立同分布）——金融建模的核心假设之一

$\sigma$-代数与信息#

• $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$ 表示在某一时刻已知的信息集
• 生成子 $\sigma(X)$：随机变量 $X$ 生成的 $\sigma$-代数，包含所有由 $X$ 可回答的问题
• 信息流（Filtration）：$\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \cdots \subset \mathcal{F}$ 表示信息随时间积累

Radon-Nikodym定理#

• 若 $Q \ll P$（即在 $P$-零测集上 $Q$ 也为零），则存在可测函数 $\frac{dQ}{dP}$ 使得： $Q(A) = \int_A \frac{dQ}{dP} dP, \quad \forall A \in \mathcal{F}$
• 应用：测度变换（如风险中性定价中的 Radon-Nikodym 导数）= 金融定价的核心

条件期望#

• 定义：$\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$ 是 $\mathcal{G}$-可测的随机变量，且满足： $\int_A \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] dP = \int_A X dP, \quad \forall A \in \mathcal{G}$
• 关键性质：
  • 修匀性（Tower Property）：$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|\mathcal{H}] = \mathbb{E}[X|\mathcal{H}]$（若 $\mathcal{H} \subset \mathcal{G}$）
  • 抽出已知量：$\mathbb{E}[ZX|\mathcal{G}] = Z\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]$（若 $Z$ 是 $\mathcal{G}$-可测）
  • 条件Jensen不等式

鞅 (Martingale)#

• 定义：适应过程 $M_t$，满足 $\mathbb{E}[M_s|\mathcal{F}_t] = M_t, \forall s > t$
• 直观：对未来的最佳预测就是当前值——公平游戏
• 性质：$\mathbb{E}[M_t]$ 为常数
• 类型：鞅（等号）、上鞅（$\leq$）、下鞅（$\geq$）
• 应用：贴现资产价格在风险中性测度下为鞅

布朗运动 (Brownian Motion)#

• 定义：连续时间随机过程 $W_t$ 满足：
  1. $W_0 = 0$ a.s.
  2. 独立增量：$W_t - W_s$ 独立于 $\mathcal{F}_s$
  3. 正态增量：$W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)$
  4. 连续路径：$t \mapsto W_t$ 几乎必然连续
• 性质：几乎处处不可微、二次变差 $[W, W]_t = t$

Itô积分构造#

• 思路：对简单过程 $f_t = \sum f_{t_i}\mathbf{1}_{[t_i, t_{i+1})}$ 定义 $\int_0^T f_t dW_t = \sum f_{t_i}(W_{t_{i+1}} - W_{t_i})$
• $L^2$扩展：对 $\mathbb{E}[\int_0^T f_t^2 dt] < \infty$ 的过程，通过极限定义
• 不依赖未来：$f_t$ 需要是 $\mathcal{F}_t$-适应的

关键性质#

• 鞅性：$\mathbb{E}[\int_0^T f_t dW_t] = 0$
• Itô等距：$\mathbb{E}[(\int_0^T f_t dW_t)^2] = \mathbb{E}[\int_0^T f_t^2 dt]$
• 二次变差：$[\int f dW, \int g dW]_T = \int_0^T f_t g_t dt$

Itô公式（一维）#

若 $X_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t$，则对 $C^2$ 函数 $f$： $df(X_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dW_t$

Itô公式（多维）#

对 $d$ 维 Itô过程 $dX_t^i = \mu_t^i dt + \sum_{j=1}^m \sigma_t^{ij} dW_t^j$： $df(t, X_t) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i} dX_t^i + \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} d[X^i, X^j]_t$

经典应用#

• 几何布朗运动：$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$
  • Itô公式 $\Rightarrow S_t = S_0 \exp\left((\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \sigma W_t\right)$
• Black-Scholes PDE的核心推导工具